Bulanık Mantık #1: Bulanık Kümeler

Image for post
Image for post
illüstrasyon: kaynak

Bulanık Mantık yazı serimize devam ediyoruz. Bu yazıda; Bulanık Mantık kuramıyla doğmuş ‘Bulanık Kümeler’den ve bunların birbirleriyle olan ilişkilerinden bahsedeceğiz.

Önceki yazıya buradan ulaşabilirsiniz.

Bulanık kümelere geçmeden, konuyu biraz daha detaylandırmak ve aralarındaki farkları daha iyi görebilmek adına, önceki yazıda da bahsettiğim klasik mantığı oluşturan küme modelinden biraz daha bahsetmemiz faydalı olacaktır.

Keskin Kümeler

Bir keskin küme (ing. crisp set), ya tam üye ya da hiç üye olmayan elemanlardan oluşan bir küme olarak tanımlanabilir. Bir kümeyi oluşturan her bir elemanın, o kümeyle olan ilişkisinin üyelik derecesi denilen bir değer ile belirtildiğinden bahsetmiştik. Bu durumda, herhangi bir A keskin kümesi ve bu kümenin de dahil olduğu evrensel küme elemanlarının üyelik dereceleri hakkında yorum yapmak gerekirse;

  • A kümesine dahil olan elemanların üyelik derecesi 1,
  • A kümesine dahil olmayan elemanların üyelik derecesi 0'dır.

Herhangi iki veya daha fazla keskin kümenin birbirleriyle olan ilişkilerinden bahsederken (örneğin A ve B kümeleri), aşağıdaki kavramlar üzerinde dururuz:

  • A veya B kümesine üyelik derecesi 1 olan bütün elemanların bulunduğu küme, bu iki kümenin birleşim kümesidir. A∪B şeklinde gösterilir. (Şekil 1.A)
  • Hem A hem de B kümesine olan üyelik derecesi 1 olan elemanların -yani ortak elemanların- bulunduğu küme, bu iki kümenin kesişim kümesidir. A∩B şeklinde gösterilir. (Şekil 1.B)
  • Bu kümelerden herhangi birinin bütün elemanları, aynı zamanda diğer kümenin de elemanlarının tamamını veya bir kısmını oluşturuyorsa, bu kümeye alt küme denir. A ⊂ B şeklinde gösterilir. (Şekil 1.C)
  • A kümesine olan üyelik derecesi 0 olan tüm elemanların (A kümenin dışında kalan elemanların) bulunduğu bir B kümesi varsa, B kümesi için A’nın tümleyenidir denir. A’nın tümleyeni A’ şeklinde gösterilir. (Şekil 1.D)

Bu kavramlara değinmemin sebebi, birazdan bahsedeceğim bulanık kümelerde de, buradaki sisteme oldukça benzer ifade şekillerinin olmasıdır.

Son olarak keskin kümelerin bize hangi noktalarda açık kapı bırakmadığına değinmemiz gerekiyor. Önceki yazıda klasik mantık kurallarının, bir olguyu ifade etmede son derece kesin ve objektif yargılara başvurduğundan bahsetmiştik. Bir önermenin doğruluğu ya da yanlışlığı tartışma götürmez temellere dayanmak zorundaydı. Fakat gerçek hayattaki düşünce sistemimiz, kesin ölçütler yerine bulanık sezgilere ve kesin olmayan gerçekliğe göre şekillenmekte idi. Örneğin, dünyadaki bütün araba markalarını listeleyerek bir keskin küme modeli oluşturmaya çalıştığımızı düşünelim. Buradaki önermemiz:

Eğer X araba markası, Amerikan malı ise A kümesinin bir elemanıdır.

şeklinde olsun. Bu durumda, X elemanına karşılık gelen her bir araba markasının menşesini sorguladığımız zaman, karşımıza iki durumdan birinin çıkmasını bekleriz; bu marka ya Amerikan malıdır (1), ya da Amerikan malı değildir (0). Bir arabanın Amerikan malı sayılıp sayılmaması konusunda da tartışmaya mahal vermemek adına; o markanın Amerika’da kurulmuş bir marka olması, onu Amerikan markası yapmak için yeterli bir sebep olarak görülmüş olsun. Buraya kadar bir problem yok gibi. Fakat, kurguladığımız modelden kafamızı kaldırarak günümüzün gerçekliğinde bu önermeyi yorumlamak istersek, karşımıza başka bir tablo çıkacaktır. Burada biraz durup düşündüğümüzde şunu söyleyebiliriz: bir araba markasının Amerika’da kurulmuş olması, onun tamamen Amerikan malı sayılması için yeterli olmayabilir. Çünkü marka, üretimini Amerika dışında başka bir ülkede yapıyor olabilir. Veya Amerika’da üretim yapıyor olsa bile, ürettiği arabaların önemli parçalarının bir kısmı diğer ülkelerden ithal ediliyor olabilir. Bu detaycı perspektif, markaların tamamen Amerikan malı sayılıp sayılamayacağı konusunda mantığımızı şüpheye düşürmektedir. Klasik mantığın bizi zorladığı şekilde bu markaları sınıflandırmak için, elemanların (markaların) A kümesine aidiyeti hakkında yüzde yüz kesinlikte hükümler verebilmemiz gerekirdi. Fakat yaptığımız bu düşünce deneyinden çıkan sonuç; bahsettiğimiz ‘Amerikan malı’ kavramının aslında kesin bir sınırın olmadığıdır. Bir araba pek çok açıdan Amerikan malı sayılabilir; yine pek çok açıdan sayılmayabilir.

Geleneksel küme kuramına göre, bir keskin kümenin çok iyi tanımlanmış özelliklere sahip olması gereklidir. Bahsettiğimiz örnekteki küme tanımlaması, bu açıdan hala doldurulması gereken boşluklara sahip, iyi tanımlanmamış veya tanımlanması mümkün olmayan bir kümedir. Geleneksel küme kuramının çıkmaza düştüğü bu noktada durumun üstesinden gelebilmek için, imdadımıza şimdi bahsedeceğimiz bulanık küme kuramı yetişiyor.

Bulanık Kümeler

Bulanık kümeler (ing. fuzzy sets), keskin kümelerden farklı şekilde küme elemanlarının kısmi üyeliğine de izin verir. Bulanık kümeleri oluşturan elemanların alabileceği üyelik dereceleri [0, 1] kapalı aralığındaki bütün reel sayılardır. Bir elemanın A bulanık kümesine olan üyelik derecesini belirlerken, keskin kümelerde olduğu gibi 2 seçeneğe değil, çok daha fazlasına sahip oluruz. Öyle ki, 0 ve 1 aralığında sonsuz reel sayı bulunduğu için, teorik olarak bir elemanın alabileceği sonsuz farklı üyelik derecesi vardır diyebiliriz.

Bulanık kümelerde, her bir eleman aynı anda birden fazla kümeye ait olabilir. Fakat buradaki ‘aidiyet’ kavramını, keskin kümelerdeki haliyle karıştırmamak gerekir. Aynı önermenin farklı sonuçlarını temsil eden kümeler için (yukarıdaki örnekte, Amerikan malı olan araçları tutan küme ve Amerikan malı olmayan araçları tutan küme) her bir eleman kesinlikle bu kümelerden yalnız birine ait olmak zorundaydı. Fakat bulanık kümelerde, önermeyi oluşturan kavramların göreceli ve sezgisel çıkarımlardan oluşmuş olmasından dolayı, her bir eleman birbirine zıt gözüken her iki kümeye de aynı anda ait olabilir. İşte tam burada aitlik kavramının keskin kümelerdeki haliyle, bulanık kümelerdeki hali yollarını ayırır.

Bulanık kümelerde, her bir elemanın kümelere olan aidiyetleri belirli kurallar baz alınarak derecelendirilir. Keskin kümelerde kümenin bütün elemanları tamamen aynı üyelik derecesine sahipken (1) ; bulanık kümelerde ise aynı kümenin elemanları, birbirlerinden bambaşka üyelik derecelerine sahip olabilirler. Çünkü her bir elemanın o kümeye olan ‘aidiyeti’ kendine özeldir. 1’e çok yakın değerler, elemanın o kümeye yüksek dereceden bir aidiyeti olduğunu belirtir. Aynı şekilde 0’a yakın değerler, düşük dereceli bir aidiyetin göstergesidir.

Üyelik Derecelerinin Belirlenmesi

Her bir elemanın kendine özel bir üyelik derecesi ile ifade edildiğinden bahsettik. Peki bu üyelik derecelerini nasıl belirleyebiliriz, bundan bahsedelim.

Herhangi bir değer aralığındaki elemanlar için, bir kümeye hangi dereceden ait olduklarını gösteren fonksiyonlara üyelik fonksiyonları (ing. membership function) denir. µF şeklinde belirtilir. Bu fonksiyonları ifade etmek içinse genelde üçgen, yamuk, çan eğrisi, üstel, gausyen vb. foknsiyonlar kullanılır. (Şekil 3)

Diyelim ki ‘1 sayısına yaklaşan tam sayılar’a ait bir bulanık küme tanımlamak istiyoruz (F kümesi). Bunun için, aşağıdaki gibi (Şekil 4) çan eğrisi şeklinde üyelik fonksiyonu belirlenmiş olsun.

Tanım kümemizin ise aşağıdaki değerlerden oluştuğunu varsayalım:

A tanım kümesi için, A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

Her bir A elemanı (ai) için, üyelik fonksiyonundan alınan değerler şu şekilde olsun:

  • µF(a1) = µF(-2) = 0
  • µF(a2) =µF(-1) = 0.3
  • µF(a3) = µF(0) = 0.6
  • µF(a4) = µF(1) = 1
  • µF(a5) = µF(2) = 0.6
  • µF(a6) = µF(3) = 0.3
  • µF(a7) = µF(4) = 0

Görüldüğü gibi, 1 sayısına pozitif veya negatif taraftan yaklaşan tam sayıların üyelik dereceleri artmaktadır. Uzaklaşıldığında ise üyelik derecelerinin azaldığı gözlemlenebilir. Son olarak, F bulanık kümensini oluşturan elemanların, üyelik dereceleriyle beraber ifade edilmesi şu şekilde olur:

F = {(-2, 0), (-1, 0.3), (0, 0.6), (1, 1), (2, 0.6), (3, 0.3), (4, 0)}

Bulanık kümelerin tanımlanması ve üyelik fonksiyonlarıın oluşturulması basitçe bu şekildedir. Kümelerin ayrık ya da sürekli olması durumuna göre ifadeler ve gösterimler değişebilir. Fakat konunun buradan sonrası fazlaca detay içeriyor. Bu yazının teknik düzeyde değil, temel bilgiler veren ve herkes için açıklayıcı olmasını istediğim için, bu detaylara değinmedim. Bu konu ilginizi çektiyse, daha detaylı bilgiler için ‘bulanık küme kuramı’ hakkında araştırma yapabilirsiniz.

Bulanık Küme İlişkileri

Bulanık kümelerin birbiriyle olan bağlantıları, keskin kümelere oldukça benzer özellikler gösterir. Keskin kümelerde bahsettiğimiz birleşim, kesişim, alt küme ve tümleyen özellikleri kavramsal olarak bulanık mantıkta da kendine yer bulur.

Yukarıdaki 1'e yaklaşık tam sayılar örneğinden devam ederek ilerleyelim.

1. Birleşim

Diyelim ki, üyelik fonksiyonları birbirlerinden farklı iki bulanık kümeye sahibiz (A ve B kümesi, Şekil 5). Bir küme 1 sayısına olan yakınlığı irdeliyorken, diğeri başka bir tam sayıya olan yakınlığı irdelemekte. Böylece aynı tanım kümesi elemanları için, her bir bulanık kümede alacakları üyelik dereceleri farklı olacaktır. Bu durumda A ve B kümelerinin birleşimi:

A∪B(t) = max[A(t), B(t)] = A(t) OR B(t)

şeklinde gösterilir. Her bir tanım kümesi elemanı için, A ve B kümelerindeki üyelik derecelerine bakılır. Hangi değer daha büyükse, o değer seçilir ve birleşim kümesine yazılır. (Şekil 6.d) Daha büyüğünü seçme işlemi OR (VEYA) mantıksal ifadesi ile gösterilir.

2. Kesişim

A ve B bulanık kümelerinin kesişimi ise, bu iki kümeye ait değerler arasından en düşük üyelik dereceli elemanların seçilmesi ve kesişim kümesine yazılması ile gösterilir. (Şekil 6.c)

A∩B(t) = min[A(t), B(t)] = A(t) AND B(t)

Bu işlem, diğer bir mantıksal ifade olan AND (VE) ile gösterilir.

3. Tümleyen

A kümesinin dışında kalan tüm elemanları belirten tümleyen kümesi için, her bir A elemanının üyelik derecesi 1'den çıkartılarak yazılır. (Şekil 6.e)

A’(t) = 1 - A(t)

Image for post
Image for post
Şekil 6. c) bulanık kesişim kümesi, d) bulanık birleşim kümesi, e) bulanık tümleyen kümesi

Sonraki yazıda, üyelik fonksiyonlarının nasıl hassas şekilde ayarlanabileceği hakkında bahsedeceğiz.

Okuduğunuz için teşekkür ederim.

Referans

  • Dr. A. Merve ACILAR, NEÜ, Bilgisayar Müh., Bulanık Mantık dersi notları

Written by

Get the Medium app

A button that says 'Download on the App Store', and if clicked it will lead you to the iOS App store
A button that says 'Get it on, Google Play', and if clicked it will lead you to the Google Play store