Bulanık Mantık #1: Bulanık Kümeler

Image for post
Image for post
illüstrasyon: kaynak

Keskin Kümeler

Bir keskin küme (ing. crisp set), ya tam üye ya da hiç üye olmayan elemanlardan oluşan bir küme olarak tanımlanabilir. Bir kümeyi oluşturan her bir elemanın, o kümeyle olan ilişkisinin üyelik derecesi denilen bir değer ile belirtildiğinden bahsetmiştik. Bu durumda, herhangi bir A keskin kümesi ve bu kümenin de dahil olduğu evrensel küme elemanlarının üyelik dereceleri hakkında yorum yapmak gerekirse;

  • A kümesine dahil olmayan elemanların üyelik derecesi 0'dır.
Image for post
Image for post
Şekil 1.A. Birleşim kümesi. kaynak
Image for post
Image for post
Şekil 1.B. Kesişim kümesi. kaynak
Image for post
Image for post
Şekil 1.C. Alt küme kaynak
Image for post
Image for post
Şekil 1.D. A’nın tümleyeni. kaynak

Eğer X araba markası, Amerikan malı ise A kümesinin bir elemanıdır.

şeklinde olsun. Bu durumda, X elemanına karşılık gelen her bir araba markasının menşesini sorguladığımız zaman, karşımıza iki durumdan birinin çıkmasını bekleriz; bu marka ya Amerikan malıdır (1), ya da Amerikan malı değildir (0). Bir arabanın Amerikan malı sayılıp sayılmaması konusunda da tartışmaya mahal vermemek adına; o markanın Amerika’da kurulmuş bir marka olması, onu Amerikan markası yapmak için yeterli bir sebep olarak görülmüş olsun. Buraya kadar bir problem yok gibi. Fakat, kurguladığımız modelden kafamızı kaldırarak günümüzün gerçekliğinde bu önermeyi yorumlamak istersek, karşımıza başka bir tablo çıkacaktır. Burada biraz durup düşündüğümüzde şunu söyleyebiliriz: bir araba markasının Amerika’da kurulmuş olması, onun tamamen Amerikan malı sayılması için yeterli olmayabilir. Çünkü marka, üretimini Amerika dışında başka bir ülkede yapıyor olabilir. Veya Amerika’da üretim yapıyor olsa bile, ürettiği arabaların önemli parçalarının bir kısmı diğer ülkelerden ithal ediliyor olabilir. Bu detaycı perspektif, markaların tamamen Amerikan malı sayılıp sayılamayacağı konusunda mantığımızı şüpheye düşürmektedir. Klasik mantığın bizi zorladığı şekilde bu markaları sınıflandırmak için, elemanların (markaların) A kümesine aidiyeti hakkında yüzde yüz kesinlikte hükümler verebilmemiz gerekirdi. Fakat yaptığımız bu düşünce deneyinden çıkan sonuç; bahsettiğimiz ‘Amerikan malı’ kavramının aslında kesin bir sınırın olmadığıdır. Bir araba pek çok açıdan Amerikan malı sayılabilir; yine pek çok açıdan sayılmayabilir.

Bulanık Kümeler

Bulanık kümeler (ing. fuzzy sets), keskin kümelerden farklı şekilde küme elemanlarının kısmi üyeliğine de izin verir. Bulanık kümeleri oluşturan elemanların alabileceği üyelik dereceleri [0, 1] kapalı aralığındaki bütün reel sayılardır. Bir elemanın A bulanık kümesine olan üyelik derecesini belirlerken, keskin kümelerde olduğu gibi 2 seçeneğe değil, çok daha fazlasına sahip oluruz. Öyle ki, 0 ve 1 aralığında sonsuz reel sayı bulunduğu için, teorik olarak bir elemanın alabileceği sonsuz farklı üyelik derecesi vardır diyebiliriz.

Image for post
Image for post
Şekil 2. Kesin sınırlara sahip bir keskin küme(a), kesin olmayan sınırlara sahip bir bulanık küme(b) kaynak

Üyelik Derecelerinin Belirlenmesi

Her bir elemanın kendine özel bir üyelik derecesi ile ifade edildiğinden bahsettik. Peki bu üyelik derecelerini nasıl belirleyebiliriz, bundan bahsedelim.

Image for post
Image for post
Şekil 3. Üyelik fonksiyonları. Üyelik derecelerinin her koşulda [0, 1] aralığında değerler aldığına dikkat edin.
Image for post
Image for post
Şekil 4. 1'e yaklaşan reel sayılara ait üyelik fonksiyonu, µF(ai)

A tanım kümesi için, A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

Her bir A elemanı (ai) için, üyelik fonksiyonundan alınan değerler şu şekilde olsun:

  • µF(a2) =µF(-1) = 0.3
  • µF(a3) = µF(0) = 0.6
  • µF(a4) = µF(1) = 1
  • µF(a5) = µF(2) = 0.6
  • µF(a6) = µF(3) = 0.3
  • µF(a7) = µF(4) = 0

F = {(-2, 0), (-1, 0.3), (0, 0.6), (1, 1), (2, 0.6), (3, 0.3), (4, 0)}

Bulanık kümelerin tanımlanması ve üyelik fonksiyonlarıın oluşturulması basitçe bu şekildedir. Kümelerin ayrık ya da sürekli olması durumuna göre ifadeler ve gösterimler değişebilir. Fakat konunun buradan sonrası fazlaca detay içeriyor. Bu yazının teknik düzeyde değil, temel bilgiler veren ve herkes için açıklayıcı olmasını istediğim için, bu detaylara değinmedim. Bu konu ilginizi çektiyse, daha detaylı bilgiler için ‘bulanık küme kuramı’ hakkında araştırma yapabilirsiniz.

Bulanık Küme İlişkileri

Bulanık kümelerin birbiriyle olan bağlantıları, keskin kümelere oldukça benzer özellikler gösterir. Keskin kümelerde bahsettiğimiz birleşim, kesişim, alt küme ve tümleyen özellikleri kavramsal olarak bulanık mantıkta da kendine yer bulur.

Image for post
Image for post
Şekil 5. (a) Abulanık kümesi, (b) B bulanık kümesi

1. Birleşim

Diyelim ki, üyelik fonksiyonları birbirlerinden farklı iki bulanık kümeye sahibiz (A ve B kümesi, Şekil 5). Bir küme 1 sayısına olan yakınlığı irdeliyorken, diğeri başka bir tam sayıya olan yakınlığı irdelemekte. Böylece aynı tanım kümesi elemanları için, her bir bulanık kümede alacakları üyelik dereceleri farklı olacaktır. Bu durumda A ve B kümelerinin birleşimi:

A∪B(t) = max[A(t), B(t)] = A(t) OR B(t)

şeklinde gösterilir. Her bir tanım kümesi elemanı için, A ve B kümelerindeki üyelik derecelerine bakılır. Hangi değer daha büyükse, o değer seçilir ve birleşim kümesine yazılır. (Şekil 6.d) Daha büyüğünü seçme işlemi OR (VEYA) mantıksal ifadesi ile gösterilir.

2. Kesişim

A ve B bulanık kümelerinin kesişimi ise, bu iki kümeye ait değerler arasından en düşük üyelik dereceli elemanların seçilmesi ve kesişim kümesine yazılması ile gösterilir. (Şekil 6.c)

A∩B(t) = min[A(t), B(t)] = A(t) AND B(t)

Bu işlem, diğer bir mantıksal ifade olan AND (VE) ile gösterilir.

3. Tümleyen

A kümesinin dışında kalan tüm elemanları belirten tümleyen kümesi için, her bir A elemanının üyelik derecesi 1'den çıkartılarak yazılır. (Şekil 6.e)

A’(t) = 1 - A(t)

Image for post
Image for post
Şekil 6. c) bulanık kesişim kümesi, d) bulanık birleşim kümesi, e) bulanık tümleyen kümesi

Referans

  • Dr. A. Merve ACILAR, NEÜ, Bilgisayar Müh., Bulanık Mantık dersi notları

Get the Medium app

A button that says 'Download on the App Store', and if clicked it will lead you to the iOS App store
A button that says 'Get it on, Google Play', and if clicked it will lead you to the Google Play store